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Mais il est peut-être plus simple d’éliminer $\rho '',$ pour avoir une équation en $r'',$ laquelle, en faisant

$\lambda ={\frac {n\mathrm {R} ''\mu ''\theta '^{2}}{2\gamma }},$

sera

$\left(r''^{2}-\mathrm {R} ''^{2}\right)r''^{6}-2\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''$

$\times \lambda \left(r''^{3}-\mathrm {R} ''^{4}\right){\frac {r''^{3}}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {\lambda ^{2}}{\mathrm {R} ''^{8}}}\left(r''^{3}-\mathrm {R} ''^{4}\right)^{2}=0.$

Cette équation est évidemment du huitième degré ; mais en supposant $\mathrm {R} ''=1,$ ou bien en mettant simplement $\mathrm {R} ''^{3}$ à la place de $\mathrm {R} ''^{4}$ dans les termes qui contiennent $r''^{3}-\mathrm {R} ''^{4},$ elle deviendra toute divisible par $r''-\mathrm {R} '',$ et s’abaissera par là au septième degré.

Mais, pour n’être pas embarrassé dans le choix des racines de cette équation, et même pour pouvoir trouver avec facilité la racine cherchée, je remarque que par la nature du Problème les deux quantités $r''$ et $\rho ''$ doivent être toutes deux positives.

Donc, en faisant, pour plus de simplicité,

${\frac {n\mathrm {R} ''\mu ''\theta '^{2}}{2\gamma }}=\lambda ,\quad \cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''=\varepsilon ,\quad \mathrm {R} ''=1,$

en sorte que l’on ait

$\rho ''=\lambda \left(1-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)\quad {\text{et}}\quad r''^{2}=1+2\rho ''\varepsilon +\rho ''^{2},$

il faudra :

1^o Que, si $\lambda >0,$ on ait $1-{\frac {1}{r''^{3}}}>0\,;$ donc $r''>1\,;$ donc $\rho ''<\lambda \,;$ donc, si $\varepsilon >0,$ on aura

$r''^{2}<1+2\lambda \varepsilon +\lambda ^{2}\,;$

si $\varepsilon <0,$ alors la quantité

$1+2\rho ''\varepsilon +\rho ''^{2}$

diminue depuis $\rho ''=0$ jusqu’à $\rho ''=-\varepsilon ,$ et ensuite augmente à mesure que $\rho ''$ croît ; donc entre $\rho ''=0$ et $\rho ''=-\varepsilon ,$ on aura $r''<1,$ ce qui ne se peut ; donc $\rho ''$ est nécessairement $>-\varepsilon \,;$ donc aussi $\lambda >-\varepsilon .$ Donc, en