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par les équations de conditions que nous avons vu devoir avoir lieu entre les constantes $a,b,c,\ldots$, (numéro cité), on aura plus simplement

$\sin i\cos h=ag-bf,\quad \sin i\sin h=cg-ef,\quad \cos i=ae-bc.$

Maintenant on a, pour les deux observations,

${\begin{alignedat}{2}x'=&at'+bu',\qquad &x''=&at''+bu'',\\y'=&ct'+eu',\qquad &y''=&ct''+eu'',\\z'=&ft'+gu',\qquad &z''=&ft''+gu'',\end{alignedat}}$

et de là on tirera

${\begin{aligned}x''z'-x'z''=&(ag-bf)(t''u'-t'u''),\\y''z'-y'z''=&(cg-ef)(t''u'-t'u''),\\x''y'-x'y''=&(ae-bc)(t''u'-t'u''),\end{aligned}}$

en sorte qu’on aura

$\sin i\cos h={\frac {x''z'-x'z''}{t''u'-t'u''}},\ \ \sin i\sin h={\frac {y''z'-y'z''}{t''u'-t'u''}},\ \ \cos i={\frac {x''y'-x'y''}{t''u'-t'u''}}.$

Or on a déjà vu (15) que $t''u'-t'u''=2r'r''\sin \omega \cos \omega \,;$ ainsi il ne restera qu’à trouver les valeurs de $x',x'',y',y'',z',z'',$ qu’on aura par les formules du n^o 3 en connaissant $\rho '$ et $\rho ''\,;$ or ces quantités se tireront directement des formules du n^o 19.

De là il s’ensuit aussi qu’on aura

$(t''u'-t'u'')^{2}=(x''z'-x'z'')^{2}+(y''z'-y'z'')^{2}+(x''y'-x'y'')^{2}$

$=\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)\left(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}\right)-(x'x''+y'y''+z'z'')^{2}\,;$

donc

$4r'^{2}r''^{2}\sin ^{2}\omega \cos ^{2}\omega =r'^{2}r''^{2}-(x'x''+y'y''+z'z'')^{2}\,;$

mais

$2\sin \omega \cos \omega =\sin 2\omega \,;$

donc

$\cos 2\omega ={\frac {x'x''+y'y''+z'z''}{r'r''}}\,;$

par où l’on pourra connaitre l’angle $\omega$ sans la résolution de l’équation en $\upsilon .$