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$\mathrm {ABC} ,$ on aura, en nommant ces coordonnées $t',u'$ pour le point $\mathrm {A} ,$ $t'',u''$ pour le point $\mathrm {B} ,$ $t''',u'''$ pour le point $\mathrm {C} ,$ et supposant que leur origine commune soit au point $\mathrm {O} ,$ on aura, dis-je (15),

$\Delta '={\frac {t''u'-t'u''}{2}},\quad \Delta ''={\frac {t'''u''-t''u'''}{2}},\quad \Delta '''={\frac {t'''u'-t'u'''}{2}}\,;$

enfin, si au lieu d’employer les coordonnées dans le plan de la courbe, on voulait employer d’autres coordonnées rectangles rapportées à un plan quelconque passant par le centre $\mathrm {O} ,$ on nommerait $x',y'$ les coordonnées du point $\mathrm {A} ,$ $x'',y''$ les coordonnées du point $\mathrm {B} ,$ $x''',y'''$ les coordonnées du point $\mathrm {C} ,$ l’origine de ces coordonnées étant toujours au point $\mathrm {O} \,;$ on nommerait de plus $i$ l’inclinaison des deux plans, et l’on aurait par les formules du n^o 24

$\Delta '={\frac {x''y'-x'y''}{2\cos i}},\quad \Delta ''={\frac {x'''y''-x''y'''}{2\cos i}},\quad \Delta '''={\frac {x'''y'-x'y'''}{2\cos i}}.$

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TROISIÈME MÉMOIRE.
dans lequel on donne une solution directe et générale du problème.

Les Recherches que j’ai données, dans le Volume de 1778, sur la détermination de l’orbite des Comètes, ont fait naître celles que MM. du Séjour et de Laplace ont publiées sur le même sujet dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1779 et 1780 ; et celles-ci ont occasionné encore ce Mémoire.

Mon dessein est moins de donner une nouvelle solution du Problème dont il s’agit que de simplifier et généraliser tout à la fois celle que j’ai donnée dans le second Mémoire. En suivant à peu près la route que j’y ai tracée, je parviens à trois équations finales, qui ont pour inconnues les trois principaux éléments de l’orbite, savoir le paramètre, le grand axe et le lieu du périhélie. Ces équations ne sont à la vérité qu’approchées mais d’un côté on peut les rendre aussi exactes que l’on veut, et