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donneront (1) celles-ci

${\begin{aligned}\mathrm {\Delta \ \ RL-\Delta '\,R'G''+\Delta ''R''G'} =&0,\\\mathrm {\Delta _{1}RL-\Delta '_{1}R'G''+\Delta ''_{1}R''G'} =&0,\\\mathrm {\Delta _{2}RL-\Delta '_{2}R'G''+\Delta ''_{2}R''G'} =&0,\end{aligned}}$

qui sont celles qu’il s’agissait de démontrer.

28. Par le moyen de ces équations on peut réduire les valeurs de $\rho ,\rho ',\rho '',$ du n^o 12 à cette forme

${\begin{aligned}\rho \ \ =&{\frac {\Delta \ \mathrm {R} (l-\mathrm {L} )-\Delta '\mathrm {R} '(g''-\mathrm {G} '')+\Delta ''\mathrm {R} ''(g'-\mathrm {G} ')}{\delta l}},\\\rho '\ =&-{\frac {\Delta _{1}\mathrm {R} (l-\mathrm {L} )-\Delta '_{1}\mathrm {R} '(g''-\mathrm {G} '')+\Delta ''_{1}\mathrm {R} ''(g'-\mathrm {G} ')}{\delta g''}},\\\rho ''=&{\frac {\Delta _{2}\mathrm {R} (l-\mathrm {L} )-\Delta '_{2}\mathrm {R} '(g''-\mathrm {G} '')+\Delta ''_{2}\mathrm {R} ''(g'-\mathrm {G} ')}{\delta g'}},\\\end{aligned}}$

On peut ensuite réduire les équations du n^o 13 à la forme suivante

${\begin{aligned}&\rho ^{2}\ \,-2\Gamma \mathrm {R} \rho =r^{2}-\mathrm {R} ^{2},\\&\rho '^{2}\,-2\Gamma '\,\mathrm {R} '\ \rho '\,=h'\,r^{2}-\mathrm {H'\ R^{2}} ,\\&\rho ''^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''=h''r^{2}-\mathrm {H''R^{2}} .\end{aligned}}$

Or, si l’on fait

${\frac {1}{\mathrm {R} }}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=\mathrm {P} ,\quad {\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}{\frac {d(\mathrm {R} d\mathrm {R} )}{dt^{2}}}=\mathrm {Q} ,$

on aura pour $\mathrm {L,G',H',G'',H''}$ les mêmes expressions que pour $l,g',h',$$g'',h''$ (21), en y changeant seulement $r,p,q$ en $\mathrm {R,P,Q} \,;$ et il est visible que dans les trois équations finales les inconnues $r,p,q$ auront pour racines les quantités $\mathrm {R,P,Q} ,$ puisqu’en faisant

$r=\mathrm {R} ,\quad p=\mathrm {P} ,\quad q=\mathrm {Q} ,$

ce qui donne

$l=\mathrm {L} ,\quad g=\mathrm {G} ,\quad h=\mathrm {H} ,$

tous les termes de ces équations se détruisent d’eux-mêmes.