De plus, 
étant l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique 
si l’on nomme aussi 
l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique 
on aura
et il est clair que 
sera l’angle intercepté entre les rayons 
et 
de sorte que, si l’on nomme encore 
la corde qui joint les extrémités des rayons et 
on aura, par la Trigonométrie,
Qu’on substitue dans cette expression à la place de 
et de 
leurs valeurs en 
et 
et pour cela on remarquera que les expressions ci-dessus de 
et 
donnent
et de même
de sorte que, comme
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}r\rho \cos(u-v)=&a^{2}\left[(e+\cos \varphi )(e+\cos \alpha )+\left(1-e^{2}\right)\sin \varphi \sin \alpha \right]\\=&a^{2}\left[\cos(\varphi -\alpha )+e(\cos \varphi ++\cos \alpha )+e^{2}(1-\sin \varphi \sin \alpha )\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1f0dd661e266d61f8aca5d293f8f012b6a89d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+\rho ^{2}=&a^{2}\left[(1+e\cos \varphi )^{2}+(1+e\cos \alpha )^{2}\right]\\=&a^{2}\left[2+2e(\cos \varphi +\cos \alpha )+e^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\cos ^{2}\alpha \right)\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10bb1cc6ca957249e64985762eb1fb743ea9aae)
donc enfin, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta ^{2}=&a^{2}\left[2-2\cos(\varphi -\alpha )+e^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\cos ^{2}\alpha -2+2\sin \varphi \sin \alpha \right)\right]\\=&a^{2}\left[2-2\cos(\varphi -\alpha )-e^{2}(\sin \varphi -\sin \alpha )^{2}\right]\\=&4a^{2}\left(\sin ^{2}{\frac {\varphi -\alpha }{2}}-e^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957577828631e68fe131342f4ba116bc54a53c63)
