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on aura

$x={\frac {r+u}{2}},\quad y={\frac {r-u}{2}},$

et la quantité $u$ sera

$u={\sqrt {\frac {4\mathrm {A} +4\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{2}-{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}{\mathrm {C} }}}.$

12. Comme les constantes $a,b,c,h$ sont arbitraires, on peut les supposer nulles ; on aura alors

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {xdx}{\sqrt {\mathrm {M} x+\mathrm {N} x^{2}}}}-{\frac {ydy}{\sqrt {\mathrm {M} y+\mathrm {N} y^{2}}}}.$

Ainsi la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres différentielles semblables dans lesquelles $\mathrm {H} =0\,;$ ce qui revient au cas du Théorème de M. Lambert.

Mais on peut faire cette même réduction d’une manière plus générale en supposant

$h=-k^{2},$

$a+bx+cx^{2}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{4}=(x-k)^{2}\left[l+\mathrm {M} (x+k)+\mathrm {N} (x+k)^{2}\right]\,;$

ce qui donne^[1]

$a+bx+cx^{2}=l(x-k)^{2}+\mathrm {M} \left(-kx^{2}-k^{2}x+k^{3}\right)+\mathrm {N} \left(-2k^{2}x^{2}+k^{4}\right),$

et par conséquent

$a=lk^{2}+\mathrm {M} k^{3}+\mathrm {N} k^{4},\quad b=-2lk-\mathrm {M} k^{2},\quad c=l-\mathrm {M} k-2\mathrm {N} k^{2}\,;$

de cette manière, si l’on fait, pour abréger,

$x+k=x',\quad y+k=y',$

on aura

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {l+\mathrm {M} x'+\mathrm {N} x'^{2}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {l+\mathrm {M} y'+\mathrm {N} y'^{2}}}}\,;$

et supposant $l=0,$ ce qui donne

$a=\mathrm {M} k^{3}+\mathrm {N} k^{4},\quad b=0,\quad c=-\mathrm {M} k-2\mathrm {N} k^{2},$

1. Dans le texte primitif les formules qui suivent sont affectées d’erreurs légères que nous avons cru devoir faire disparaître.$\qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)