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tangles $p$ et $q,$ on aura $q$ égale à une fonction donnée de $p,$ que je dénoterai, en général, par $f(p)\,;$ donc, puisque

$q=f(p),$

on aura, en différentiant,

$dq=f'(p)dp.$

Or je remarque que les valeurs de $p$ et $q$ du n^o 1 sont telles, que

$dp+{\frac {dy}{dx}}dq=0,$

comme on le voit par la quatrième équation du n^o 5 ; et l’on peut aussi s’en assurer directement par la différentiation actuelle de ces valeurs ; car on aura

$dq=dy+d{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}},\quad dp=-{\frac {dy^{2}}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}d{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}\,;$

donc

$dqdy+dpdx=0.$

Donc, substituant dans l’équation différentielle

$dq=f'(p)dp$

à la place de $dq$ sa valeur $-{\frac {dpdx}{dy}},$ on aura

$\left[{\frac {dx}{dy}}+f'(p)\right]dp=0,$

équation qui se décompose d’elle-même en ces deux-ci

$dp=0,\quad {\frac {dx}{dy}}+f'(p)=0.$

8. Considérons ces deux équations séparément ; et d’abord l’équation

$dp=0$

étant intégrée donnera

$p=$ une constante arbitraire ;