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d’où, éliminant $p$ au moyen de l’équation

${\frac {dx}{dy}}+f'(p)=0,$

on aura une équation du premier ordre entre $x$ et $y,$ et qui étant intégrée ne contiendra par conséquent qu’une constante arbitraire.

Au lieu d’éliminer $p,$ il sera plus simple d’éliminer $y\,;$ pour cela il n’y aura qu’à différentier l’équation

$y=f(p)+(x-p)f'(p),$

ce qui donnera

$dy=dxf'(p)+(x-p)f''(p)dp,$

et, substituant pour $dy$ sa valeur $-{\frac {dx}{f'(p)}},$ il viendra l’équation

$\left[1+f'^{2}(p)\right]dx=-(x-p)f'(p)f''(p)dp,$

dont l’intégration est facile par les méthodes connues. Cette solution revient à celle que l’on a déjà trouvée (5).

Pour s’en convaincre on n’a qu’à supposer, ce qui est permis,

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

$r$ étant ici une variable indéterminée, et combiner cette équation avec les deux équations

$(x-p)+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0,$

${\frac {dx}{dy}}+f'(p)=0,\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {dx}{dy}}+{\frac {dq}{dp}}=0\,;$

car, en différentiant l’équation dont il s’agit, on aura, à cause de

$(x-p)dx+(y-q)dy=0,$

celle-ci

$-(x-p)dp-(y-q)dq=rdr.$