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laquelle donne immédiatement

${\text{ou}}\quad dp=0,\quad {\text{ou}}\quad -{\frac {1}{z}}=\varphi '(p).$

L’équation

$dp=0$

donne

$p=$ une constante arbitraire,

et $z$ restera indéterminée. On reprendra donc dans ce cas l’équation

$y+{\frac {x-p}{z}}=\varphi (p),$

et l’on y substituera pour $z$ sa valeur primitive ${\frac {dy}{dx}}\,;$ on aura une équation entre $x$ et $y$ dont l’intégrale sera

$(x-p)^{2}+[y-\varphi (p)]^{2}=r^{2}.$

C’est la même équation au cercle trouvée (8).

L’autre équation

$-{\frac {1}{z}}=\varphi '(p)$

donne

$z=-{\frac {1}{\varphi '(p)}},$

moyennant quoi on chassera $z$ de l’équation

$dz={\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{x-p}},$

et l’on aura une équation du premier ordre entre $x$ et $p.$ Au lieu de chasser $z,$ il est plus simple de chasser $p\,;$ car, ayant

$\varphi '(p)=-{\frac {1}{z}},$

on aura $p$ égal à une fonction donnée de $z$ que nous dénoterons par $\mathrm {Z} \,;$