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d’où l’on tire

$z={\frac {dy}{dx}}={\frac {x-p}{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}}}\,;$

multipliant par $dx$ et intégrant de nouveau, on aura

$y=q-{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}},$

$r$ et $q$ étant deux nouvelles constantes arbitraires.

Cette expression de $y$ serait la véritable si la duantité $p$ était effectivement constante, comme nous l’avons supposée ; mais, quelle que soit la quantité $p,$ comme elle est indéterminée, on peut toujours supposer que l’expression précédente de $y$ ait lieu, en y regardant $p$ comme une nouvelle variable ; on y peut de plus regarder aussi les quantités $q$ et $r$ comme variables, et, comme elles sont indéterminées, on pourra établir entre elles telles relations qu’on voudra ; on pourra donc aussi faire en sorte que les valeurs de ${\frac {dy}{dx}}$ et de ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ soient les mêmes que si les trois quantités $p,q,r$ ne variaient point ; et cela en égalant à zéro séparément la partie de chacune de ces valeurs qui résultera des variations de $p,q,r\,;$ ce qui donnera deux équations différentielles du premier ordre entre $p,q,r,x$ et $dp,dq,dr.$ On substituera maintenant les valeurs de $y,{\frac {dy}{dx}}$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ ou de $y,z,{\frac {dz}{dx}}$ exprimées en $p,q,r,x$ dans l’équation proposée

$y+{\frac {\left(1+z^{2}\right)dx}{dz}}=\varphi \left[x-{\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{dz}}\right],$

et l’on aura une équation finie entre $p,q,r$ et $x,$ au moyen de laquelle on pourra chasser une des variables des deux équations différentielles trouvées auparavant. En voici le calcul.

13. Puisque

$y=q-{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}},$

on aura d’abord, en faisant varier $p,q,r$ et en égalant la variation de $y$ à zéro,

$dq-{\frac {rdr+(x-p)dp}{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}}}=0\,;$