Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/61

37. La théorie que nous venons de donner sur les intégrales particulières des équations différentielles du premier et du second ordre peut s’appliquer aisément aux équations d’un ordre quelconque plus élevé.

Soit par exemple $\mathrm {Z} ''=0$ une équation différentielle du troisième ordre, $\mathrm {Z} ''$ étant une fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},$ si l’on connait son intégrale tinie et complète $\mathrm {V} =0,$ $\mathrm {V}$ étant une fonction de $x,y$ et de trois constantes arbitraires $a,b,c,$ on déterminera l’intégrale particulière de l’équation $\mathrm {Z} ''=0$ en éliminant les trois quantités $a,b,c$ et les deux ${\frac {db}{da}},{\frac {dc}{da}}$ de ces six équations

${\begin{aligned}&\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dy}{dx}}-p=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-p'=0,\\&{\frac {dy}{da}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {db}{da}}+{\frac {dy}{dc}}{\frac {dc}{da}}=0,\\&{\frac {d^{2}y}{dadx}}\ \ +{\frac {d^{2}y}{dbdx}}{\frac {db}{da}}\ \,+{\frac {d^{2}y}{dcdx}}{\frac {dc}{da}}\ \,=0,\\&{\frac {d^{3}y}{dadx^{2}}}+{\frac {d^{3}y}{dbdx^{2}}}{\frac {db}{da}}+{\frac {d^{3}y}{dcdx^{2}}}{\frac {dc}{da}}=0.\end{aligned}}$

Si l’on connaît seulement une des intégrales complètes aux premières différences telle que $\mathrm {Z} =0,$ $\mathrm {Z}$ étant une fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}}$ et de deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ on déterminera l’intégrale particulière en éliminant les quantités $a,b,{\frac {db}{da}},$ au moyen de ces quatre équations

${\begin{aligned}&\mathrm {Z} =0,\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-p'=0,\\&{\frac {d^{2}y}{dxda}}+{\frac {d^{2}y}{dxdb}}{\frac {db}{da}}=0,\\&{\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}+{\frac {d^{3}y}{dx^{2}db}}{\frac {db}{da}}=0.\end{aligned}}$

Si l’on ne connaît qu’une intégrale complète aux secondes différences, telle que $\mathrm {Z} '=0,$ $\mathrm {Z} '$ étant une fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ et d’une con-