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D’où il s’ensuit que l’équation $\mathrm {V} =0$ satisfera toujours à l’équation $\mathrm {Z} =0$ d’un ordre supérieur, même en supposant que les constantes arbitraires qui entrent dans la fonction $\mathrm {V}$ deviennent variables, pourvu que les différences de cette fonction $d\mathrm {V} ,d^{2}\mathrm {V} ,\ldots ,$ jusqu’à $d^{n-m}\mathrm {V}$ restent les mêmes que dans le cas où ces arbitraires seraient constantes. Or c’est ce qui aura lieu si l’on fait disparaître dans chacune de ces différences la partie qui viendrait de la variation des arbitraires supposées variables.

Désignons, en général, par la caractéristique $\delta$ la différence prise en faisant varier uniquement les constantes arbitraires de la fonction $\mathrm {V} ,$ et conservons la caractéristique $d$ pour représenter les différences ordinaires, relatives aux variables de la même fonction $\mathrm {V} .$ Il est clair que, dans l’hypothèse où les constantes arbitraires deviendront variables, la différence totale de l’équation $\mathrm {V} =0$ sera

$d\mathrm {V} +\delta \mathrm {V} =0\,;$

donc, pour que l’on ait

$d\mathrm {V} =0,$

il faudra que l’on ait en même temps

$\delta \mathrm {V} =0.$

Par la même raison la différence totale de l’équation $d\mathrm {V} =0$ sera

$d^{2}\mathrm {V} +\delta d\mathrm {V} =0\,;$

donc, pour que l’on ait

$d^{2}\mathrm {V} =0,$

il faudra que l’on ait en même temps

$\delta d\mathrm {V} =0.$

On continuera ce raisonnement pour les différences des ordres suivants, et l’on trouvera de la même manière

$\delta d^{2}\mathrm {V} =0,\quad \delta d^{3}\mathrm {V} =0,\ldots$

jusqu’à

$\delta d^{n-m-1}\mathrm {V} =0$

inclusivement.