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cette courbe les éléments du contact $p,q,r,\ldots$ doivent être en effet variables et c’est la raison qui empêche que cette courbe, quoique contenue dans la même équation différentielle, ne puisse être renfermée dans l’intégrale complète de cette équation dans laquelle les quantités $p,q,r,\ldots$, sont constantes.

Les Problèmes que nous avons résolus dans les Articles I et II peuvent servir d’exemples au Problème général que nous traitons ici, et pour peu qu’on examine la manière dont nous avons intégré les équations différentielles des courbes développantes et des roulettes en regardant comme variables les éléments du contact $p,q,r,\ldots ,$ on s’apercevra aisément que nous n’avons fait autre chose que chercher l’intégrale particulière de cette équation suivant les principes établis plus haut.

8. De ce que nous venons de démontrer il s’ensuit, en général, que l’intégrale particulière d’une équation différentielle quelconque entre deux variables n’est autre chose que l’équation de la courbe touchée par toutes les courbes qui peuvent être représentées par les différentes intégrales complètes de la même équation différentielle, en faisant varier dans ces intégrales les constantes arbitraires qu’elles renferment ; de manière que le contact sera toujours du même ordre que celui de l’équation différentielle proposée.

9. Nous avons supposé jusqu’ici que les courbes touchantes étaient connues et qu’on cherchait les courbes touchées ; mais, si ces dernières étaient données et qu’on cherchât les premières, le Problème serait l’inverse du précédent et serait même en quelque sorte indéterminé. Pour en donner une solution aussi générale qu’il est possible, soit $\mathrm {T} =0$ l’équation de la courbe touchée que nous supposerons d’abord finie, en sorte que $\mathrm {T}$ soit une fonction des deux coordonnées $x$ et $y.$ On prendra pour les courbes touchantes une équation quelconque $\mathrm {V} =0,$ entre les mêmes coordonnées $x$ et $y,$ et dans laquelle il entre deux constantes arbitraires $p$ et $q,$ si le contact ne doit être que du premier ordre, ou trois constantes arbitraires $p,q,r,$ si le contact doit être du second ordre ; et ainsi de suite.