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perpendiculaires entre elles, il s’ensuit que si trois sphères quelconques ont leurs centres placés sur ces trois droites et que leurs surfaces passent. par le point de concours de ces droites, ces surfaces se couperont partout mutuellement à angles droits.

Au reste ce Théorème n’est pas difficile à démontrer par la Géométrie, et l’on peut prouver de plus que, si les droites sur lesquelles sont placés les centres des sphères forment entre elles des angles quelconques, les surfaces de ces sphères se couperont partout sous les mêmes angles ; ce qui suit évidemment de ce que deua sphères se coupent nécessairement dans tous les points de leurs surfaces sous le même angle.

8. On peut aussi généraliser et simplifier les méthodes des n^os 53 et 54 du même Mémoire.

Soit

${\frac {dz}{dx}}=p,\quad z-px=u\,;$

on aura, en différentiant et en supposant toujours $z$ fonction de $x,y,t,\ldots ,$

$du=-xdp+{\frac {dz}{dy}}dy+{\frac {dz}{dt}}dt+\ldots .$

Mais, $p$ étant aussi fonction de $x,y,t,\ldots ,$ il est clair qu’on peut regarder $x$ et $z,$ et par conséquent aussi $u,$ comme fonctions de $p,y,t,\ldots \,;$, et dans cette hypothèse on aura

${\frac {du}{dp}}=-x,\quad {\frac {du}{dy}}={\frac {dz}{dy}},\quad {\frac {du}{dt}}={\frac {dz}{dt}},\ldots .$

Donc, si l’on a une équation de la forme

$-x+\mathrm {P} {\frac {dz}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {dz}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} .$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ soient des fonctions quelconques données de ${\frac {dz}{dx}},y,t,\ldots ,z-x{\frac {dz}{dx}},$ on pourra par les substitutions précédentes lui