doivent dépendre des quantités c’est-à-dire être des fonctions de ces deux dernières quantités ; et il est visible que, si dans ces fonctions on fait la variable constante, on aura les coordonnées de la courbe qui représente le méridien dont la longitude est au contraire, si l’on y fait constante, on aura les coordonnées de la courbe qui représente le parallèle auquel répond l’arc du méridien .
2. Considérons maintenant deux lieux infiniment proches, qui sur la surface de la Terre soient déterminés par les variables et et qui le soient sur la Carte par les variables correspondantes et et cherchons les distances de ces deux lieux sur la surface de la Terre et sur la Carte. Il est évident que la première de ces distances sera exprimée par puisque est la différence des deux arcs de méridien qui passent par les deux lieux, et que est l’arc du parallèle compris entre ces-deux méridiens ; et que la seconde le sera par la formule ordinaire puisque et sont des coordonnées rectilignes et rectangles.
Or la plus grande perfection d’une Carte géographique serait que ces distances fussent égales, car alors toutes les autres distances petites et grandes seraient aussi les mêmes sur la surface de la Terre que sur la Carte ; mais, pour donner à nos recherches toute la généralité possible, nous supposerons que ces distances soient entre elles dans une proportion quelconque exprimée par en sorte que l’on ait
d’où l’on tire l’équation fondamentale
qu’il s’agit maintenant de résoudre.
3. Pour cet effet, je remarque d’abord que l’ordonnée de la courbe des méridiens est une fonction de l’arc donnée par la nature de cette courbe ; de sorte que sera une quantité intégrable, ou du moins qui
