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4. Telles sont les expressions les plus générales des coordonnées $x$ et $y$ qui déterminent sur la Carte la position que doit avoir chaque lieu de la Terre, en vertu de la condition supposée, que la distance de deux lieux quelconques infiniment proches sur la surface de la Terre soit à la distance des mêmes lieux sur la Carte dans la proportion de $1$ à $m$ (2). Or, ayant supposé (3)

$mq=n$

et ensuite

$n\sin \omega =\alpha ,\quad n\cos \omega =\beta ,$

on aura

$n={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},$

et par conséquent

$m={\frac {\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{q}}\,;$

mais

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)=f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {F} '\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\,;$

donc on aura

$m={\frac {\sqrt {f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {F} '\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)}}{q}}.$

On voit par cette formule que la valeur de $m$ est une fonction des variables finies $t$ et $u,$ c’est-à-dire de $t$ et $s,$ à cause que $u$ est une fonction de $s.$ D’où il s’ensuit que la distance de deux lieux quelconques de la Terre infiniment proches entre eux, dont l’un répond à $t$ et $s$ et l’autre à $t+dt$ e $s+ds,$ sera à la distance des mêmes lieux placés sur la Carte dans une proportion dépendant uniquement de $t$ et $s\,;$ par conséquent tous les lieux de la Terre situés autour d’un lieu donné, à des distances infiniment petites de ce lieu, se trouveront placés sur la Carte en sorte qu’ils formeront une figure semblable à celle qu’ils forment sur la surface de la Terre, les côtés homologues de ces deux figures étant dans la proportion de $1$ à $m,$ et l’étendue des mêmes figures étant dans la proportion de $1$ à $m^{2}.$ Ainsi une Carte construite d’après les expressions de $x$ et $y,$ que nous venons de trouver, aura la même propriété que nous avons déjà observé être commune aux Cartes stéréographiques et aux Cartes réduites, et qui consiste en ce que chaque portion infiniment pe-