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substituant cette valeur de $q$ dans l’équation à l’ellipse, on en tirera

$1-p={\frac {\gamma ^{2}}{\sqrt {\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z}}},$

et de là

$q={\frac {\operatorname {tang} z}{\sqrt {\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z}}}.$

Différentiant, on aura

$dp={\frac {\gamma ^{2}\operatorname {tang} zd\operatorname {tang} z}{\left(\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad dq={\frac {\gamma ^{2}d\operatorname {tang} z}{\left(\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

donc

$ds={\sqrt {dp^{2}+dq^{2}}}={\frac {\gamma ^{2}{\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}z}}}{\left(\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z\right)^{\frac {3}{2}}}}d\operatorname {tang} z\,;$

mais on a (3) $du={\frac {ds}{q}}\,;$ donc

$du={\frac {\gamma ^{2}{\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}z}}}{\operatorname {tang} z\left(\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z\right)}}d\operatorname {tang} z={\frac {\gamma ^{2}dz}{\sin z\left(\gamma ^{2}\cos ^{2}z+\sin ^{2}z\right)}}.$

Soit

$1-\gamma ^{2}=\varepsilon ^{2},$

en sorte que $\varepsilon$ soit l’excentricité de l’ellipse qui forme les méridiens de la Terre ; on aura

$du={\frac {\gamma ^{2}dz}{\sin z\left(\gamma ^{2}+\varepsilon \sin ^{2}z\right)}}={\frac {dz}{\sin z}}-{\frac {\varepsilon ^{2}\sin zdz}{1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}\,;$

l’intégrale de ${\frac {dz}{\sin z}}$ est

${\frac {1}{2}}\log {\frac {1-\cos z}{1+\cos z}}=\log \operatorname {tang} {\frac {z}{2}},$

l’intégrale de ${\frac {\varepsilon ^{2}\sin zdz}{1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}$ est

${\frac {\varepsilon }{2}}\log {\frac {1-\varepsilon \cos z}{1+\varepsilon \cos z}}\,;$