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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

il est visible que, pour savoir ce que deviennent ces côtés, il n’y aura qu’à augmenter, dans l’expression précédente, $y$ de $\delta y$ et ensuite $z$ de $\delta z\ ;$ ainsi ces côtés deviendront

$\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)+{\frac {d^{2}p}{dx\,dy}}dt\delta x\delta y,\quad \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)+{\frac {d^{2}p}{dx\,dz}}dt\delta x\delta z,$

valeurs qui se réduisent à

$\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)$

en négligeant les infiniment petits du troisième ordre.

Il s’ensuit de là que les trois côtés parallèles et égaux à $\delta x$ du parallélépipède rectangle $\delta x\delta y\delta z$ deviendront dans l’instant suivant

$\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),$

et seront par conséquent encore égaux entre eux. On trouvera par une analyse semblable que les trois côtés parallèles et égaux à $\delta y$ se changeront en

$\delta y\left(1+{\frac {dq}{dy}}dt\right),$

et que les trois côtés parallèles et égaux à $\delta z$ se changeront en

$\delta z\left(1+{\frac {dr}{dz}}dt\right),$

de sorte que le parallélépipède rectangle $\delta x\delta y\delta z$ se trouvera changé en un autre parallélépipède dont les côtés seront

$\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),\quad \delta y\left(1+{\frac {dq}{dy}}dt\right),\quad \delta z\left(1+{\frac {dr}{dz}}dt\right).$

Or, si ces côtés étaient encore dans la direction des lignes $x,$ $y,$ $z,$ il n’y aurait qu’à les multiplier ensemble pour avoir la capacité du parallélépipède laquelle serait donc, en négligeant ce qu’on doit négliger,

$\delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right).$