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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Mais la densité $\Delta$ devient en même temps (en y faisant varier $t,x,y,z$ de $dt,pdt,qdt,rdt$)

$\Delta +{\frac {d\Delta }{dt}}dt+{\frac {d\Delta }{dx}}pdt+{\frac {d\Delta }{dy}}qdt+{\frac {d\Delta }{dz}}rdt.$

Par conséquent la quantité

$\Delta \delta x\delta y\delta z$

deviendra

${\begin{aligned}\Delta &\delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right)\\&+\delta x\delta y\delta z\left({\frac {d\Delta }{dt}}dt+{\frac {d\Delta }{dx}}pdt+{\frac {d\Delta }{dy}}qdt+{\frac {d\Delta }{dz}}rdt\right)\ ;\end{aligned}}$

laquelle devant toujours être égale à

$dm=\Delta \delta x\delta y\delta z,$

on aura, en divisant par $\delta x\delta y\delta zdt,$ l’équation

$\Delta \left({\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}\right)+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r+{\frac {d\Delta }{dt}}=0,$

ou

${\frac {d(\Delta p)}{dx}}+{\frac {d(\Delta q)}{dy}}+{\frac {d(\Delta r)}{dz}}+{\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

C’est la première équation fondamentale de la Théorie du mouvement des fluides ; et comme elle est relative à la densité du fluide, elle peut être nommée en général l’équation de la densité.

5. Lorsque le fluide est incompressible, la densité de chaque particule $dm$ ne varie point d’un instant à l’autre ; ainsi il faudra que l’on ait dans ce cas

${\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r=0\ ;$

et l’équation précédente se réduira alors à celle-ci

${\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dz}}+{\frac {dr}{dz}}=0.$