Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/713

711

DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Donc

${\begin{alignedat}{2}&{\frac {dp}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dx}},\quad &&{\frac {dq}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dy}},\quad {\frac {dr}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dz}},\\&{\frac {dp}{dy}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}},\quad &&{\frac {dq}{dx}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}},\ldots \end{alignedat}}$

Ainsi l’équation précédente deviendra par ces substitutions

${\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dx}}dx+{\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dy}}dy+{\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dz}}dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}},$

laquelle est évidemment intégrable par rapport à $x,$ $y,$ $z\ ;$ de sorte qu’en intégrant, on aura

${\frac {d\varphi }{dt}}=\mathrm {V} -\int {\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}}.$

On pourrait ajouter à l’un des membres de cette équation intégrale une fonction arbitraire de $t,$ puisque la variable $t$ a été regardée dans l’intégration comme constante. Mais j’observe que cette fonction arbitraire peut être censée renfermée dans la valeur de $\varphi \ ;$ en effet, si l’on augmente d’une fonction quelconque $\mathrm {T}$ de $t,$ le premier membre de l’équation précédente se trouvera augmenté de la fonction arbitraire ${\frac {d\mathrm {T} }{dt}},$ et les valeurs des quantités $p,$ $q,$ $r$ demeureront les mêmes qu’auparavant. Ainsi on peut sans déroger à la généralité de l’équation se dispenser d’y ajouter aucune fonction arbitraire de $t.$

On aura donc, dans la supposition dont il s’agit, l’équation

$\int {\frac {d\Pi }{\Delta }}=\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.$

par laquelle on connaîtra la pression $\Pi ,$ $\Delta$ étant supposée une fonction donnée de $\Pi .$

Et il ne restera plus qu’à satisfaire à la première équation fondamentale du n^o 4, laquelle, en y mettant aussi pour $p,$ $q,$ $r$ leurs valeurs ${\frac {d\varphi }{dx}},$