Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/716

714

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

la Théorie du mouvement des fluides élastiques ou non ; ainsi il est important d’examiner dans quels cas cette supposition peut et doit avoir lieu.

Soit, pour abréger,

$\alpha ={\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}},\quad \beta ={\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}},\quad \gamma ={\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}\ ;$

le premier membre de l’équation du n^o  14 deviendra de cette forme

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)\ ;$

et la question se réduit à faire en sorte que cette quantité soit une différenitielle exacte, $p,$ $q,$ $r$ étant des fonctions de $x,$ $y,$ $z,$ $t.$

Supposons que $t$ soit une quantité fort petite, il est visible qu’on pourra donner à $p,$ $q,$ $r$ les formes suivantes

${\begin{aligned}p&=p'+p''t+p'''t^{2}+p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\q&=q'+q''t+q'''t^{2}\,+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\r&=r'+r''t\,+r'''t^{2}+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

dans lesquelles $p',p'',p''',\ldots ,q',q'',q''',\ldots ,r',r'',r''',\ldots$ seront des fonctions de $x,y,z$ sans $t.$

Ces valeurs étant substituées dans les trois quantités $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ elles deviendront

${\begin{aligned}\alpha &=\alpha '+\alpha ''t+\alpha '''t^{2}+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\beta &=\beta '+\beta ''t\,+\beta '''t^{2}+\beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\gamma &=\gamma '\,+\gamma ''t\,+\gamma '''t^{2}+\gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

en supposant

${\begin{alignedat}{3}\alpha '&={\frac {dp'}{dy}}-{\frac {dq'}{dx}},\quad &\alpha ''&={\frac {dp''}{dy}}-{\frac {dq''}{dx}},\quad &\alpha '''&={\frac {dp'''}{dy}}-{\frac {dq'''}{dx}},\ldots ,\\\beta '&={\frac {dp'}{dz}}-{\frac {dr'}{dx}},&\beta ''&={\frac {dp''}{dz}}-{\frac {dr''}{dx}},&\beta '''&={\frac {dp'''}{dz}}-{\frac {dr'''}{dx}},\ldots ,\\\gamma '&={\frac {dq'}{dz}}-{\frac {dr'}{dy}},&\gamma ''&={\frac {dq''}{dz}}-{\frac {dr''}{dy}},&\gamma '''&={\frac {dq'''}{dz}}-{\frac {dr'''}{dy}},\ldots .\end{alignedat}}$