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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Alors l’équation intégrée sera

$\omega +\gamma z+{\frac {1}{2}}\gamma 'z^{2}+\ldots =\mathrm {V} -\Pi ,$

et il ne s’agira plus que de satisfaire aux conditions précédentes par le moyen des fonctions indéterminées $\omega ,r',p',p'',\ldots q',q'',\ldots .$

25. Le calcul deviendrait encore plus facile si les deux variables $y$ et $z$ étaient très-petites vis-à-vis de $x\ ;$ car alors on pourrait supposer

${\begin{aligned}p&=p'+p''y+p'''z+p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}+p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz+\ldots ,\\q&=q'+q''y+q'''z\,+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}+q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz+\ldots ,\\r&=r'+r''y+r'''z\,+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}\,+r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz+\ldots ,\end{aligned}}$

et les quantités $p',p'',\ldots ,q',q'',\ldots ,r',r'',\ldots$ seraient simplement des fonctions de $x$ et $t.$

Ainsi l’équation de l’incompressibilité donnerait d’abord

${\frac {dp'}{dx}}+q''+r'''=0,\quad {\frac {dp''}{dx}}+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\ldots .$

Ensuite l’équation de la pression deviendrait

${\begin{aligned}\alpha dx+\beta dy+\gamma dz&+y\left(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz\right)\\&+z\left(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz\right)+\ldots =d\mathrm {V} -d\Pi ,\end{aligned}}$

dans laquelle

${\begin{aligned}\alpha \ =&{\frac {dp'\ }{dt}}+p'{\frac {dp'\,}{dx}}+q'p''+r'p''',\\\beta \ =&{\frac {dq'\ }{dt}}+p'{\frac {dq'\ }{dx}}+q'q''+r'q''',\\\gamma \ =&{\frac {dr'\ }{dt}}+p'{\frac {dr'\ }{dx}}+q'r''+r'r''',\\\alpha '=&{\frac {dp''}{dt}}+p'{\frac {dp''}{dx}}+p''{\frac {dp'}{dx}}+2q'p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+q''p''+r'p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+r''p''',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$