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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Ensuite la pression $\Pi$ dans chaque point du fluide sera (en supposant la densité $\Delta =1$)

$\Pi =\mathrm {V} ={\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.$

La quantité $\mathrm {V}$ est égale à

$\int \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right),$

en nommant $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ les forces accélératrices tendantes à augmenter les coordonnées $x,$ $y,$ $z.$ Or nous supposons ici que le fluide n’est animé que par sa gravité naturelle. Donc, prenant $g$ pour exprimer la force accélératrice de la gravité, ainsi que nous l’avons déjà fait plus haut (16), et nommant $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ les angles que la verticale fait avec les axes des coordonnées $x,$ $y,$ $z,$ on aura

$\mathrm {P} =g\cos \xi ,\quad \mathrm {Q} =g\cos \eta ,\quad \mathrm {R} =g\cos \zeta ,$

et par conséquent

$\mathrm {V} =gx\cos \xi +gy\cos \eta +gz\cos \zeta .$

30. Maintenant soit $z=\alpha$ l’équation d’une des parois du vase ou du canal, $\alpha$ étant une fonction donnée de $x,$ $y$ sans $z$ ni $t.$ On aura donc, suivant les formules du n^o  10,

$\mathrm {A} =z-\alpha \ ;$

et les deux équations

$\mathrm {A} =0,\quad {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+r{\frac {\mathrm {A} }{dz}}=0$

se réduiront à

$z-\alpha =0,\quad -{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}=0.$

Ces deux équations devant avoir lieu à la fois, il faudra qu’elles donnent l’une et l’autre la même valeur de $z\ ;$ donc, en substituant dans la seconde à la place de $z$ sa valeur $\alpha$ donnée par la première, il faudra que l’équation résultante ait lieu d’elle-même.