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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Et, substituant ces valeurs dans l’expression de $\Pi$ du n^o  29, elle deviendra de cette forme

$\Pi =\Pi '+z\Pi ''+z^{2}\Pi '''+z^{3}\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\Pi '\ \ &=g\left(x\cos \xi +y\cos \eta \right)-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\varphi ''^{2},\\\Pi ''\ &=g\cos \zeta -{\frac {d\varphi ''}{dt}}-{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\varphi ''}{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\varphi ''}{dy}}+\varphi ''\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right),\\\Pi '''&={\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dtdx^{2}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dtdy^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi ''}{dx}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\varphi '}{dx}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi ''}{dy}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\varphi '}{dy}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)^{2}\\&+{\frac {1}{2}}\varphi ''\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

34. Maintenant, si $z=\alpha$ est l’équation des parois, $\alpha$ étant une fonction fort petite de $x,$ $y$ sans $z,$ l’équation de condition pour que les mêmes particules du fluide soient toujours contiguës aux parois sera (30)

${\begin{aligned}&\varphi ''-{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}-z\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}\right)\\&-{\frac {z^{2}}{2}}\left[{\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}-\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right){\frac {d\alpha }{dx}}-\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right){\frac {d\alpha }{dy}}\right]\\&+\ldots =0,\end{aligned}}$

laquelle devant avoir lieu en même temps que l’équation $z=\alpha ,$ il faudra qu’elle soit vraie en y mettant $\alpha$ à la place de $z.$

Ainsi l’équation de condition dont il s’agit se réduira à cette forme plus simple

${\begin{aligned}\varphi ''&-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\cfrac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dy}}\right)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d\left[\alpha ^{3}\left({\cfrac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\cfrac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)\right]}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d\left[\alpha ^{3}\left({\cfrac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\cfrac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)\right]}{dy}}\\&+\ldots =0,\end{aligned}}$

laquelle devra avoir lieu pour tous les points de la paroi donnée.