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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu’il est possible, que le vase soit plan, en sorte que, des deux ordonnées $y$ et $z,$ les premières $y$ soient nulles et les secondes $z$ soient fort petites.

Enfin soient

$z=\alpha ,\quad z=\beta$

les équations des deux parois du vase, $\alpha$ et $\beta$ étant des fonctions de $x$ connues et très-petites. On aura relativement à ces parois les deux équations (34)

lesquelles serviront à déterminer les fonctions $\varphi '$ et $\varphi ''.$

${\begin{aligned}&\varphi ''-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}+\ldots =0,\\&\varphi ''-{\frac {d\left(\beta {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\beta ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}+\ldots =0,\end{aligned}}$

37. Nous regarderons les quantités $z,$ $\alpha ,$ $\beta ,$ comme très-petites du premier ordre, et nous négligerons, du moins dans la première approximation, les quantités du second ordre et des ordres suivants. Ainsi les deux équations précédentes se réduiront à celles-ci

$\varphi ''-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}=0,\quad \varphi ''-{\frac {d\left(\beta {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}=0,$

lesquelles étant, retranchées l’une de l’autre donnent celle-ci

${\frac {d\left[\left(\alpha -\beta \right){\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right]}{dx}}=0,$

dont l’intégrale est

$\left(\alpha -\beta \right){\frac {d\varphi '}{dx}}=\theta ,$

$\theta$ étant une fonction arbitraire de $t,$ laquelle doit être très-petite du premier ordre.

Or il est visible que $\alpha -\beta$ est la largeur horizontale du vase, que nous