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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

On trouvera de même, en combinant l’autre équation $\Pi ''=0$ avec la seconde équation de condition, celle-ci

${\frac {dx''}{dt}}={\frac {\theta }{\lambda ''}}.$

De sorte qu’on aura

$\theta dt=\lambda 'dx'=\lambda ''dx'',$

équations séparées.

On aura donc en intégrant

$\int \lambda ''dx''-\int \lambda 'dx'=m,$

$m$ étant une constante, laquelle exprime évidemment la quantité donnée du fluide qui coule dans le vase. Ainsi cette équation donnera d’abord $x''$ en $x'.$

Maintenant si l’on substitue, dans la première équation $\Pi '=0,$ pour $dt$ sa valeur ${\tfrac {\lambda 'dx'}{\theta }},$ elle devient

$gx'-{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\theta }{dx'}}\int {\frac {dx'}{\lambda '}}-{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\vartheta }{dx'}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda '^{2}}}=0.$

laquelle étant multipliée par $\lambda 'dx'$ donne celle-ci

$g\lambda 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\lambda '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\lambda '}}=0,$

qu’on voit bien être intégrable, et dont l’intégrale sera

$g\int \lambda 'x'dx'-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx^{2}}{\lambda '}}-\int \theta d\vartheta ={\text{const.}}$

On trouvera de même, en substituant ${\frac {\lambda ''dx''}{\theta }}$ à la place de $dt$ dans l’équation $\Pi ''=0,$ et multipliant par $\lambda ''dx'',$ une nouvelle équation intégrahle, et dont l’intégrale sera

$g\int \lambda ''x''dx''-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int \theta d\vartheta ={\text{const.}}$