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$\mathrm {V}$ étant une fonction quelconque de $x$ et ${\frac {dz}{dy}},$ et $\mathrm {Z}$ une fonction quelconque de $x,{\frac {dz}{dy}},z-y{\frac {dz}{dy}}.$

Je fais

${\frac {dz}{dx}}=p,\quad {\frac {dz}{dy}}=q,\quad z-yq=r,$

j’aurai l’équation

$p=\mathrm {V} y+\mathrm {Z} ,$

dans laquelle $\mathrm {V}$ sera une fonction quelconque de $x,q,$ et où $\mathrm {Z}$ sera une fonction quelconque de $x,q,r.$ Je multiplie cette équation par $dx,$ et j’ajoute aux deux membres la quantité $-ydq,$ j’aurai, à cause de

$dr=dz-d(yq)=pdx+qdy-d(yq)=pdx-ydq,$

j’aurai, dis-je, l’équation

$dr=y(\mathrm {V} dx-dq)+\mathrm {Z} dx.$

Je suppose $\mathrm {V} dx-dq=0,$ j’ai une équation entre $x$ et $q$ que j’intègre en y ajoutant une constante arbitraire $\alpha \,;$ ensuite, regardant $\alpha$ comme variable, je différentie de nouveau, j’ai

$\mathrm {V} dx-dq=\mathrm {A} d\alpha ,$

$\mathrm {A}$ étant une fonction connue de $x,q,\alpha \,;$ cette substitution ainsi que celle de la valeur de $q$ en $x$ et $\alpha$ étant faites dans l’équation ci-dessus, elle deviendra

$dr=y\mathrm {A} d\alpha +\mathrm {Z} dx,$

où $\mathrm {A}$ et $\mathrm {Z}$ seront maintenant des fonctions connues de $r,x$ et $\alpha .$ Regardant donc $\alpha$ comme constante, on aura l’équation

$dr=\mathrm {Z} dx$

entre les variables $r$ et $x,$ dont l’intégrale pourra contenir comme constante une fonction quelconque indéterminée de $\alpha .$ Soit

$\mathrm {R} =0$