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Article I^er. — Des intégrales particulières des équations différentielles du premier ordre à deux variables, et de la manière de les déduire des intégrales complètes.

1. J’entends, en général, par intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre, une équation finie qui satisfait à cette équation différentielle et qui renferme une constante arbitraire ; si l’on donne à cette constante une valeur déterminée, l’intégrale devient alors incomplète, parce qu’elle ne renferme plus de constante arbitraire ; mais elle sera toujours comprise dans l’intégrale complète. Les intégrales particulières dont nous allons traiter ici sont celles qui, ne renfermant point de constante arbitraire, ne sont pas non plus comprises dans l’intégrale complète, et par conséquent échappent à la méthode ordinaire d’intégration. Par exemple, l’intégrale complète de l’équation

$xdx+ydy=dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}$

est

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=y+a,$

ou bien

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0,$

$a$ étant une constante arbitraire. Si l’on donnait à $a$ une valeur déterminée quelconque, comme si l’on faisait $a=3b,$ on aurait

$x^{2}-6by-10b^{2}=0,$

qui serait une intégrale incomplète ; mais l’équation précédente, malgré la constante arbitraire $a,$ n’est pas la seule équation finie qui satisfasse à l’équation différentielle proposée ; car il est aisé de voir que l’équation

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0$

y satisfait aussi, équation qu’on voit bien n’être pas comprise dans celle-là, puisque l’une est à un cercle dont le rayon est $b,$ et l’autre est à une parabole ayant $2a$ pour paramètre.