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valeur de ${\frac {dz}{dx}},$ ou de la seconde celle de ${\frac {dz}{dy}},$ on aura des équations de la forme

${\frac {dz}{dx}}=\mathrm {Z} ,\quad {\text{ou}}\quad {\frac {dz}{dy}}=\mathrm {Z} ,$

et par conséquent intégrables par la méthode ci-dessus.

55. Les Exemples précédents renferment d’une manière générale tous les cas connus d’intégration des équations de différences partielles du premier ordre entre trois variables ; et c’est pour cette raison que nous avons ajouté les trois derniers Exemples, quoique la méthode qu’on y a suivie n’ait pas un rapport immédiat avec la méthode générale du n^o  48 ; nous avions déjà donné ailleurs l’intégration de l’équation du n^o  52 [voyez les Mémoires pour 1772^[1]] ; mais celle des équations des n^os 53 et 54 est, si je ne me trompe, entièrement nouvelle.

56. On a vu ci-dessus que l’intégrale particulière n’est renfermée ni dans l’intégrale complète ni dans l’intégrale générale ; mais il n’en est pas de même de l’intégrale complète par rapport à l’intégrale générale ; car il est facile de se convaincre, soit d’après notre théorie de la formation des intégrales générales, soit d’après la seule considération de la nature de ces intégrales, laquelle consiste en ce qu’elles doivent renfermer une fonction arbitraire, il est aisé, dis-je, de se convaincre que ces sortes d’intégrales doivent toujours renfermer les intégrales complètes comme des cas particuliers. En effet, si dans l’intégrale générale on donne à la fonction indéterminée une valeur particulière dans laquelle il y ait des coefficients arbitraires, en sorte qu’il se trouve deux de ces coefficients dans l’intégrale, cette intégrale sera alors une intégrale complète, et conduira nécessairement par la différentiation à la même équation aux différences partielles du premier ordre que l’intégrale générale dont elle est dérivée. On voit par là qu’on peut donner différentes formes aux intégrales complètes, mais que ces formes différentes sont néanmoins

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 549.