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Soit par exemple l’équation finie

$z=a+bx+cy+hx^{2}+gxy+mhy^{2}\,;$

on aura par la différentiation

${\frac {dz}{dx}}=b+2hx+gy,\quad {\frac {dz}{dy}}=c+gx+2mhy,$

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=2h,\quad {\frac {d^{2}z}{dxdy}}=g,\quad {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=2mh\,;$

donc, éliminant les constantes $a,b,c,h,g,$ on aura cette équation finale

${\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=m{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$

dont l’équation précédente sera par conséquent l’intégrale complète.

58. Soit encore l’équation

$z=k+ax+by+cx^{2}+gxy+hy^{2},$

dans laquelle $k$ soit une fonction donnée de $a,b,c,g,h\,;$ on aura par la différentiation

${\frac {dz}{dx}}=a+2cx+gy,\quad {\frac {dz}{dy}}=b+2hy+gx,$

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=2c,\quad {\frac {d^{2}z}{dxdy}}=g,\quad {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=2h\,;$

donc

$h={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}},\quad g={\frac {d^{2}z}{dxdy}},\quad c={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$

$a={\frac {dz}{dx}}-x{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-y{\frac {d^{2}z}{dxdy}},\quad b={\frac {dz}{dy}}-y{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}-x{\frac {d^{2}z}{dxdy}}\,;$

donc, substituant ces valeurs, on aura l’équation différentielle du second ordre

${\begin{aligned}&z=x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}-{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-xy{\frac {d^{2}z}{dxdy}}-{\frac {y^{2}}{2}}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\\&+f\left({\frac {dz}{dx}}-x{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-y{\frac {d^{2}z}{dxdy}},\ {\frac {dz}{dy}}-y{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}-x{\frac {d^{2}z}{dxdy}},\ {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dxdy}},\ {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}},\right),\end{aligned}}$