13. Cette équation a donc lieu, en général, soit que les éléments de l’orbite soient invariables ou non ; et elle fait voir que les apsides de l’orbite sont rigoureusement dans les points dont les rayons vecteurs sont les racines de l’équation
![{\displaystyle -\Delta \rho ^{2}-2g\rho -\Pi ^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed40ddaae4bae7e573280f44fed1cafd66788222)
de sorte que
moitié de la somme des deux racines, sera la distance moyenne. C’est aussi ce qui résulte de l’expression même de
(11), en regardant l’orbite comme une ellipse dont
est le paramètre et
l’excentricité (9).
14. Il ne reste donc plus qu’à intégrer l’équation trouvée, pour en déduire la valeur de
en
c’est ce qui est facile dans le cas où les quantités
et
sont constantes. Car la quantité sous le signe peut sue mettre sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {g^{2}}{\Delta }}-\Pi ^{2}-\Delta \left(\rho -{\frac {g}{\Delta }}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28e901504ee39b87fbd688e4af4ed42872a82c0)
ou bien
à cause de
sous celle-ci
![{\displaystyle \Delta \left[{\frac {\lambda ^{2}}{\Delta ^{2}}}-\left(\rho -{\frac {g}{\Delta }}\right)^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0223a5957381cdad1d5f5b1676d362271ac164)
or on sait que
![{\displaystyle -{\frac {d\rho }{\sqrt {{\cfrac {\lambda ^{2}}{\Delta ^{2}}}-\left(\rho -{\cfrac {g}{\Delta }}\right)^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df192ffbf1e0b79ab703738861a18742738622e)
est l’élément de l’angle dont le cosinus est
divisé par
si donc on nomme
cet angle, on aura
![{\displaystyle \rho ={\frac {g+\lambda \cos \psi }{\Delta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4455c97ffa30a91147056604cfa26ee9d293afb)
et l’équation dont il s’agit deviendra
![{\displaystyle dt={\frac {(g+\lambda \cos \psi )d\psi }{\Delta ^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9164916bdec91f6e007b60764f09f79e2765428)