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Or (40)

${\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\sqrt {r^{3}}}},$

et

${\frac {\mathrm {T} 'rr'(r,r')_{1}}{4{\sqrt {r}}}}=(0,1),\quad {\frac {\mathrm {T} ''rr''(r,r'')_{1}}{4{\sqrt {r}}}}=(0,2),\ldots \,;$

donc enfin on aura

$a\mathrm {F} +(0,1)(\mathrm {F-F'} )+(0,2)(\mathrm {F-F''} )+\ldots =0,$

et l’on trouvera de la même manière, d’après les équations de $\zeta ',\zeta '',\ldots$

${\begin{aligned}&a\mathrm {F} '\,+(1,0)(\mathrm {F'\,-F} )+(1,2)(\mathrm {F'-F''} )+\ldots =0,\\&a\mathrm {F} ''+(2,0)(\mathrm {F''-F} )+(2,1)(\mathrm {F''-F'} )+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ces équations s’accordent, comme on voit (en changeant $\mathrm {F}$ en $\mathrm {A}$), avec celles que donnent les intégrales des équations de $s,u,s',u',\ldots$ (51) ; ainsi l’on aura pour $\zeta$ une expression conforme à celle du n^o 52, en négligeant la différence $\psi$ entre les angles $p$ et $q,$ laquelle ne produirait ici que des termes du second ordre dont on ne tient point compte.

57. Cette manière de résoudre le Problème des variations séculaires par l’intégration immédiate des équations différentielles de l’orbite, est, comme on voit, plus courte et plus facile que celle que nous avons suivie mais d’un autre côté elle ne paraît pas tout à fait si lumineuse ni si directe d’ailleurs elle demande qu’on connaisse déjà la forme générale des intégrales, et si l’on voulait chercher directement cette forme, ainsi que nous l’avons fait dans le Chapitre IV des Recherches sur les Satellites de Jupiter, on retomberait dans une analyse plus ou moins longue et compliquée.