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10. De ce que nous venons de démontrer résulte une méthode fort simple pour transformer l’équation générale du n^o 5 par la substitution d’autres variables quelconques à la place de $x,y,z\,;x',y',z'\,;\ldots .$

Soit, pour abréger,

$\mathrm {T} =m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}+m'{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}+m''{\frac {dx''^{2}+dy''^{2}+dz''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots ,$

${\begin{aligned}\mathrm {V} &=m\ \ \int \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)\\&+m'\ \int \left(\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {Q} 'dq'+\mathrm {R} 'dr'+\ldots \right)\\&+m''\int \left(\mathrm {P} ''dp''+\mathrm {Q} ''dq''+\mathrm {R} ''dr''+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et supposons $x,y,z\,;x',y',\ldots ,$ exprimées par d’autres variables quelconques $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots .$ On substituera les valeurs données de $x,y,z\,;x',y',\ldots$ en $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots .$ dans les deux quantités $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} \,;$ on différentiera ensuite suivant $\delta ,$ en regardant $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots$ et $d\varphi ,d\psi ,d\omega ,\ldots$ comme des variables particulières ; et l’équation générale deviendra

$\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}\right)\delta \varphi +\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}\right)\delta \psi$

$+\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \omega }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}\right)\delta \omega +\ldots =0,$

en entendant par ${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}$ le coefficient de $\delta \varphi$ dans la différentielle de $\mathrm {T} ,$ par ${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}$ le coefficient de $\delta d\varphi$ dans la même différentielle ; et ainsi du reste.

11. Si les variables $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots$ sont indépendantes entre elles (et l’on peut toujours les prendre telles, qu’elles le soient), on aura sur-lechamp (6), pour le mouvement du système, ces équations particulières

${\begin{aligned}d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \omega }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}=&0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$