Nous avons déjà vu dans la première Partie (51) que les valeurs comblètes des variables pour chaque Planète sont de cette forme
les coefficients étant les racines d’une équation déterminée d’un degré égal au nombre des Planètes qui altèrent mutuellement leurs orbites, et étant des constantes arbitraires dont la détermination dépend des valeurs de et pour chaque Planète à une époque donnée. Il faut donc, pour que ces expressions ne contiennent point d’arcs de cercle, mais seulement des sinus et cosinus d’angles, que les racines de l’équation dont il s’agit soient toutes réelles et inégales ; les racines égales y feraient entrer l’arc et ses puissances hors du signe de sinus ou cosinus, et les racines imaginaires y donneraient, au lieu de sinus et cosinus, des exponentielles réelles. Dans l’un et dans l’autre cas, les valeurs de et ne seraient plus resserrées entre de certaines bornes, mais pourraient augmenter continuellement ; et comme les équations qui déterminent ces valeurs sont fondées sur la supposition qu’elles soient fort petites, ces équations cesseraient alors d’être exactes au bout de quelque temps, lorsque les valeurs dont il s’agit seraient parvenues à une certaine grandeur.
Donc, puisque
en nommant l’excentricité et la longitude de l’aphélie, il est visible que la valeur de pourra être sujette à des variations considérables si l’équation d’où dépendent les quantités n’a pas toutes ses racines réelles et inégales ; au contraire, si les racines de cette équation sont toutes réelles et inégales, la valeur de e pourra passer certaines limites.
En effet, en substituant les expressions de et on aura
![{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\begin{aligned}&\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} +\ldots +2\mathrm {AB} \cos \left[(a-b)t+\alpha -\beta \right]\\&+2\mathrm {AC} \cos \left[(a-c)t+\alpha -\gamma \right]+2\mathrm {BC} \cos \left[(b-c)t+\beta -\gamma \right]+\ldots \end{aligned}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bbeea7878bd6a37664314cc2c6adea7fff15b2d)
