donc
![{\displaystyle \varphi ={\frac {a+b}{2}}t+{\frac {\alpha +\beta }{2}}-90^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ae72a939683b4bb6b41dd8bc2efd881f2dd4eb)
Mais, si
alors en retranchant de l’angle
l’angle
qui répond au plus grand coefficient
je la réduis à cette forme
![{\displaystyle \operatorname {tang} (\varphi -at-\alpha )={\frac {\mathrm {B} \sin \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]}{\mathrm {A+B} \cos \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3a633d890f4b96b3405ae4c087477e0137ddff)
de sorte que, si l’on prend un angle
tel que
![{\displaystyle \operatorname {tang} \psi ={\frac {\mathrm {B} \sin \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]}{\mathrm {A+B} \cos \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c19748e61e223341d43dcefe0710a81212b861b)
on aura
![{\displaystyle \varphi -at-\alpha =\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99238e2dbd09c16e5c8065dd7e0ca4d74ec945a8)
et par conséquent
![{\displaystyle \varphi =at+\alpha +\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b7a7e0c76e4bccafd8d27b23d709088dcedfeb)
Or, puisque
il est clair que le dénominateur de l’expression de
ne peut jamais devenir nul ; donc
ne pourra jamais devenir infinie, et par conséquent
ne pourra jamais atteindre à l’angle droit. Ainsi l’angle
sera nécessairement resserré dans ces limites
et
entre lesquelles il ne pourra faire que des oscillations plus ou moins grandes.
D’où il s’ensuit que
représentera le mouvement moyen de l’angle
et que
exprimera les inégalités de cet angle.
Pour déterminer ces inégalités, il faudra résoudre l’équation précédente, ce qui ne se peut que par le moyen des séries ; et la meilleure méthode pour cela me paraît celle dont je me suis déjà servi dans plusieurs occasions semblables, et qui consiste à employer les exponentielles imaginaires.
Suivant cette méthode on aura
![{\displaystyle \psi ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log {\frac {1+\operatorname {tang} \psi {\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} \psi {\sqrt {-1}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log {\frac {\mathrm {A+B} e^{\sigma {\sqrt {-1}}}}{\mathrm {A+B} e^{-\sigma {\sqrt {-1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e304dcb53e3b0723aa938930d153ab5e98a6003d)