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Et l’on intégrera cette formule d’une manière semblable à celle que nous avons indiquée plus haut pour l’intégration de la différentielle $d\Sigma .$

10. Si l’on néglige les excentricités et par conséquent les quantités $x,y,x',y',\ldots$ qui en dépendent, on aura simplement

$(d\Omega )={\frac {d\Omega }{d\,{\overline {p}}}}d\,{\overline {p}}.$

Cette différentielle est intégrable rigoureusement ; car en substituant la valeur de $\Omega$ du n^o 4 ci-dessus, et faisant comme dans le n^o 6

$d\,{\overline {p}}={\frac {d\,{\overline {p}}-d\,{\overline {p}}'}{n'}}={\frac {d\,{\overline {p}}-d\,{\overline {p}}''}{n''}}=\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\int (d\Omega )&={\frac {\mathrm {T} '}{n'}}\left[{\frac {{\overline {r}}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)}{{\overline {r}}'^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}'\ \cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)+{\overline {r}}'^{2}}}}\right]\\&+{\frac {\mathrm {T} ''}{n''}}\left[{\frac {{\overline {r}}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)}{{\overline {r}}''^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}''\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+{\overline {r}}''^{2}}}}\right]\\&+\ldots +\chi .\end{aligned}}$

$\chi$ étant une constante arbitraire.

Cette expression multipliée par $2{\overline {r}}^{2}$ et prise négativement donnera la valeur de $\rho ,$ c’est-à-dire les variations du demi-grand axe en tant qu’on néglige les excentricités des orbites. Mais pour en déduire ensuite celles du mouvement moyen qui en dépendent, il faudra une nouvelle intégration qui, n’étant pas possible en général, oblige d’avoir recours aux séries. On pourrait, à la vérité, construire l’intégrale par les méthodes connues pour la quadrature arithmétique des courbes, et l’on pourrait en faire de même pour la valeur de $d\Sigma$ dans ce même cas ; mais on n’aurait pas de cette manière des formules générales qui fassent connaître la marche des variations, et l’on n’aurait pas même une plus grande exactitude que par les séries.