faisant ces substitutions dans les valeurs de
et de
et supposant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Z} =&\mathrm {T} '\ \left({\frac {1}{\rho '^{3}\,}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}\,}}\right)\left[(u-u'\ )y'\,-(s-s'\ )x'\ \right]\\+&\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)\left[(u-u'')y''-(s-s'')x''\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2d9587d70149b90720e2b4d844f2fb55c25fe4)
on aura
![{\displaystyle ds=\mathrm {Z} y{\frac {dt}{\mathrm {R} }},\quad du=\mathrm {Z} x{\frac {dt}{\mathrm {R} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b9b30ef3c4c853489cbbc5de66ad1ac784271f)
et il n’y aura plus qu’à mettre pour
leurs valeurs
![{\displaystyle r\cos q,\quad r\sin q,\quad r'\cos q',\quad r'\sin q',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a7d5aee5fe342f90e849b17974064c395d3826)
et pour
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}},\quad {\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb81ba29444b28efa140631d0ae53c44b00f5fc8)
les expressions en séries données dans le numéro cité, ensuite substituer partout les valeurs de
en ![{\displaystyle {\overline {p}},{\overline {p}}',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4661d2aceb921acb85eb892f11353aa952697c42)
En négligeant les quantités du second ordre (
étant regardées comme du premier, ainsi que
) il suffira de changer
en
en
et
en
ainsi, à cause de
![{\displaystyle d{\overline {p}}={\frac {d\varepsilon }{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7a39cd8cc6420f1b02020888872a2ff561c75a)
on aura alors simplement
![{\displaystyle ds={\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \sin {\overline {p}}d{\overline {p}},\quad du={\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \cos {\overline {p}}d{\overline {p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65807f812b91de8e80cd52982ae3c13f94de5eb8)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Z} &=\mathrm {T} '\ {\overline {r}}'\,\left[(u-u'\,)\sin {\overline {p}}'-(s-s'\ )\cos {\overline {p}}'\ \right]\\&\quad \times \left[{\frac {1}{{\overline {r}}'^{2}}}-({\overline {r}},{\overline {r}}'\ )-({\overline {r}},{\overline {r}}'\ )_{1}\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'\,)-({\overline {r}},{\overline {r}}'\ )_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )-\ldots \right]\\&+\mathrm {T} ''{\overline {r}}''\left[(u-u'')\sin {\overline {p}}''-(s-s'')\cos {\overline {p}}''\right]\\&\quad \times \left[{\frac {1}{{\overline {r}}''^{2}}}-({\overline {r}},{\overline {r}}'')-({\overline {r}},{\overline {r}}'')_{1}\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'')-({\overline {r}},{\overline {r}}'')_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')-\ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda2be7377e0ea43aa3f9042b04eb86f93b8c8b2)
les quantités
étant les coefficients de la série