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ainsi l’on aura par là

$x'dx+y'dy+z'dz=\rho '\cos \varepsilon d\rho +\rho \rho '\delta \cos \varepsilon \,;$

mais il faut encore déterminer la valeur de $\cos \varepsilon$ et de $\cos \varepsilon .$

Pour cela, si l’on imagine que du centre des rayons vecteurs $\rho ,\rho '$ on mène au point d’intersection des deux orbites un troisième rayon, et qu’ensuite sur la surface d’une sphère décrite du même centre on trace trois arcs de grand cercle qui joignent les trois rayons dont il s’agit, il est visible que l’un de ces arcs sera $\varepsilon ,$ que les deux autres seront les distances des deux Planètes au nœud commun de leurs orbites, et dans le triangle sphériqùe formé par ces trois arcs, l’angle opposé au côté $\varepsilon$ sera l’inclinaison mutuelle des orbites.

Par conséquent, si l’on nomme $\eta$ cette inclinaison et $\psi$ la longitude du nœud commun, en sorte que $q-\psi$ et $q'-\psi '$ soient les distances des Planètes à ce nœud, on aura, par la propriété connue des triangles sphériques,

$\cos \varepsilon =\cos(q-\psi )\cos(q'-\psi )+\cos \eta \sin(q-\psi )\sin(q'-\psi )\,;$

or, tandis que la Planète $\mathrm {T}$ se meut infiniment peu dans son orbite, il n’y a que l’angle $q$ qui varie, les autres quantités $\psi ,\eta ,q'$ demeurant constantes ; d’où il suit que la variation de $\cos \varepsilon ,$ que nous avons désignée ci-dessus par $\delta \cos \varepsilon ,$ devra être exprimée par ${\frac {d\cos \varepsilon }{dq}}dq.$

16. Substituons les valeurs qu’on vient de trouver dans les valeurs de $\Phi$ et de $(d\Omega )$ du n^o 14 ; on aura, en retenant le $\cos \varepsilon$ pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}\Phi =&\mathrm {T} '\left({\frac {\rho ^{2}-\rho \rho '\cos \varepsilon }{\sigma '^{3}}}+{\frac {\rho \cos \varepsilon }{\rho '^{2}}}\right),\\(d\Omega )=&\mathrm {T} '\left({\frac {\rho d\rho -\rho '\cos \varepsilon d\rho -\rho \rho '{\cfrac {d\cos \varepsilon }{dq}}dq}{\sigma '^{3}}}+{\frac {\cos \varepsilon d\rho +\rho {\cfrac {d\cos \varepsilon }{dq}}dq}{\rho '^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Si donc on fait

$\Omega =\mathrm {T} '\left({\frac {\rho \cos \varepsilon }{\rho '^{2}}}-{\frac {1}{\sigma '}}\right),$