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${\begin{aligned}\eta '\ \ =&-\left[\left(1-2s^{2}\right)\cos r+2su\sin r\right]\sin t-\left[\left(1-2s^{2}\right)\sin r-2su\cos r\right]\cos t,\\\eta ''\ =&-\left[\left(1-2u^{2}\right)\cos r-2su\sin r\right]\cos t+\left[\left(1-2u^{2}\right)\sin r+2su\cos r\right]\sin t,\\\eta '''=&2(u\cos r+s\sin r)\cos t-2(u\sin r-s\cos r)\sin t\,;\end{aligned}}$

$\zeta '=2s,\quad \zeta ''=2u,\quad \zeta '''=1-2s^{2}-2u^{2}.$

42. Substituant maintenant $1-{\frac {r^{2}}{2}}$ à la place de $\cos r,$ et $r$ à la place de $\sin r,$ et négligeant toujours les produits de $r,s,u$ au delà de deux dimensions, les expressions précédentes se changeront en celles-ci

${\begin{aligned}\xi '\ \ =&-\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2s^{2}\right)\cos t+(r-2su)\sin t,\\\xi ''\ =&\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2u^{2}\right)\sin t+(r+2su)\cos t,\\\xi '''=&-2(u+rs)\sin t+2(s-ru)\cos t\,;\\\eta '\ \ =&-\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2s^{2}\right)\sin t-(r-2su)\cos t,\\\eta ''\ =&-\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2u^{2}\right)\cos t+(r+2su)\sin t,\\\eta '''=&2(u+rs)\cos t+2(s-ru)\sin t\,;\\\end{aligned}}$

$\zeta '=2s,\quad \zeta ''=2u,\quad \zeta '''=1-2s^{2}-2u^{2}.$

Si l’on fait les mêmes substitutions dans les expressions des quantités $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ du n^o 28, et qu’on y néglige aussi les troisièmes dimensions de $r,s,u,$ on aura

${\begin{aligned}d\mathrm {R} =&\left(1+{\frac {dr}{dt}}-2s^{2}-2u^{2}\right)dt-2(sdu-uds),\\d\mathrm {Q} =&2\left(u-{\frac {ds}{dt}}+{\frac {udr}{dt}}\right)dt,\\d\mathrm {P} =&2\left(s+{\frac {du}{dt}}+{\frac {sdr}{dt}}\right)dt.\end{aligned}}$

43. Or nous avons déjà réduit la quantité

${\frac {\mathbf {S} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)dm}{2dt^{2}}},$