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$y'+\eta ,\ z'+\zeta$ seront celles de la même particule $dm$ par rapport au centre de la Terre.

Or, par le n^o 35, on a

$x'=(1+x)\cos t-y\sin t,\quad y'=y\cos t+(1+x)\sin t,\quad z'=z\,;$

et si dans les formules

$\xi =a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',\quad \eta =a\eta '+b\eta ''+c\eta ''',\quad \zeta =a\zeta '+b\zeta ''+c\zeta ''',$

du n^o 37, on substitue les valeurs de $\xi ',\xi '',\ldots$ du n^o 42, on trouvera

$\xi =-\lambda \cos t+\mu \sin t,\quad \eta =-\lambda \sin t-\mu \cos t,\quad \zeta =\nu ,$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\lambda =&a\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2s^{2}\right)-b(r+2su)-2c(s-ru),\\\mu =&a(r-2su)+b\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2u^{2}\right)-2c(u+rs),\\\nu =&2as+2bu+c\left(1-2s^{2}-2u^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

ainsi l’on aura

${\begin{aligned}x'+\xi =&(1+x-\lambda )\cos t-(y-\mu )\sin t,\\y'+\eta =&(1+x-\lambda )\sin t+(y-\mu )\cos t,\\z'+\zeta =&z+\nu \,;\end{aligned}}$

donc

$p={\sqrt {(1+x-\lambda )^{2}+(y-\mu )^{2}+(z+\nu )^{2}}},$

expression qui à l’avantage d’être délivrée de l’angle $t.$

47. Comme dans l’expression intégrale $\mathbf {S} {\frac {dm}{p}}$ le signe $\mathbf {S}$ se rapporte uniquement à la variabilité des coordonnées $a,b,c$ de la particule $dm$ par rapport aux axes du corps, il est nécessaire de développer la valeur de ${\frac {1}{p}}$ relativement aux quantités $a,b,c$ renfermées dans $\lambda ,\mu ,\nu \,;$ or ce développement n’a point de difficulté ; car les quantités $a,b,c$ ne pouvant jamais surpasser le demi-diamètre de la Lune, elles seront toujours des fractions très-petites (la distance moyenne de la Lune à la Terre étant