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on aura le numérateur de l’expression de $a\,;$ que de même on aura celui de l’expression de $b$ en faisant le même changement dans le produit

$(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots \,;$

et ainsi des autres. De sorte qu’avec cette condition on pourra supposer d’abord

${\begin{aligned}a=&{\frac {(y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots }{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )(\alpha -\delta )\ldots }},\\b=&{\frac {(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots }{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )(\beta -\delta )\ldots }},\\c=&{\frac {(y-\alpha )(y-\beta )(y-\delta )\ldots }{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )(\gamma -\delta )\ldots }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

2. Cela posé, soit $\beta =\alpha ,$ les deux premiers termes $a\alpha ^{x},b\beta ^{x}$ de l’expression de $y_{x}$ deviendront infinis.

Faisons, pour abréger,

${\frac {\alpha ^{x}}{(\alpha -\gamma )(\alpha -\delta )\ldots }}=f(\alpha ),$

on aura

${\frac {\beta ^{x}}{(\beta -\gamma )(\beta -\delta )\ldots }}=f(\beta ),$

et les deux termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}$

deviendront

${\frac {(y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots }{(\alpha -\beta )}}f(\alpha )+{\frac {(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots }{(\beta -\alpha )}}f(\beta ).$

Faisons maintenant

$\beta =\alpha +\omega ,$

$\omega$ étant une quantité infiniment petite, on aura

$\alpha -\beta =-\omega ,\quad \beta -\alpha =\omega ,$

$(y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots =(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots -\omega (y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$

$f(\beta )=f(\alpha +\omega )=f(\alpha )+{\frac {df(\alpha )}{d\alpha }}\omega +\ldots .$