une série qui conduit à des différences constantes d’un ordre quelconque, si l’on prend les termes de deux en deux, ou de trois en trois, ou, on a une série du même genre, mais dont la différence constante est égale à la différence constante de la première série multipliée par le nombre ou ou élevé à une puissance égale à l’exposant de l’ordre de la différence constante. D’où il a conclu réciproquement, qu’en insérant dans une série à différences constantes des termes intermédiaires qui divisent chaque intervalle en parties, la nouvelle série aura des différences constantes du même ordre que celles de la série donnée, et qui seront égale à celles-ci divisées par les nombres élevés à la puissance dont l’exposant indiquera l’ordre des différences constantes. On peut donc trouver ainsi la différence constante de la série interpolée, et il ne s’agit plus que d’avoir les différences des ordres inférieurs, et même il suffit d’avoir les premiers termes des suites de ces différences. Mouton ne donne pour cela que quelques règles particulières sans démonstration, et il renvoie pour la solution générale à la méthode de Regnaud, qui consiste à construire une série dont les différences d’un ordre donné soient constantes, à prendre cette série pour la série interpolée, et à comparer ses termes pris de deux en deux, de trois en trois, ou, avec ceux de la série donnée à interpoler, suivant qu’on veut partager l’intervalle d’un terme à l’autre en deux, en trois ou en un nombre plus grand de parties ; mais, quoiqu’on puisse toujours de cette manière résoudre la question dans chaque cas, il reste néanmoins à trouver des formules générales. Lalande est, je crois, le seul qui en ait cherché pour les cas de la seconde et de la troisième différence constante, dans un Mémoire sur les interpolations imprimé parmi ceux de l’Académie des Sciences de Paris pour 1761. Sa méthode est à proprement parler celle de Regnaud réduite en Analyse, et, si l’on voulait l’appliquer aux séries dont les différences constantes seraient d’un ordre supérieur au troisième, on tomberait dans des calculs longs et peut-être impraticables ; à plus forte raison serait-il comme impossible de parvenir par cette voie à la solution générale pour des différences constantes d’un ordre quelconque. J’ai donné en 1772 une formule qui renferme cette solution dans
