10. Réciproquement, si dans la même formule (D) on change
en
et
en
comme nous l’avons dit dans le no 7, et que par conséquent suivant l’hypothèse du numéro précédent, on écrive
au lieu de
au lieu de
et
au lieu de
qui devient alors une quantité infiniment petite, on aura
(F)
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où il faudra de même développer le second membre comme une puissance
en ayant soin d’écrire
au lieu de ![{\displaystyle (\mathrm {D} ^{m}y)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa33f1ba0dec43020b8101478808892bdd0faf8)
Cette formule donnera les différentielles de tous les ordres d’une fonction quelconque par le moyen de ses différences finies, et, si l’on fait
négatif, elle donnera les intégrales de la fonction par le moyen des sommes et des différences des valeurs de la même fonction répondantes aux valeurs de
dont
est la différence finie ; ce qui revient à la détermination des aires par les ordonnées équidistantes. [Voyez là-dessus le Mémoire cité dans le volume de 1772[1].]
11. On peut traiter par les mêmes-principes les séries doubles, triples,
c’est-à-dire celles dont les termes varient de deux ou de pluf sieurs manières différentes, et qui forment des Tables à double, à triple entrée,
Soit, par exemple, la série double
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}\mathrm {T} _{0,0}&\mathrm {T} _{1,0}&\mathrm {T} _{2,0}&\mathrm {T} _{3,0}&\mathrm {T} _{4,0},&\ldots \\\mathrm {T} _{0,1}&\mathrm {T} _{1,1}&\mathrm {T} _{2,1}&\mathrm {T} _{3,1}&\mathrm {T} _{4,1},&\ldots \\\mathrm {T} _{0,2}&\mathrm {T} _{1,2}&\mathrm {T} _{2,2}&\mathrm {T} _{3,2}&\mathrm {T} _{4,2},&\ldots \\\mathrm {T} _{0,3}&\mathrm {T} _{1,3}&\mathrm {T} _{2,3}&\mathrm {T} _{3,3}&\mathrm {T} _{4,3},&\ldots \\\mathrm {T} _{0,4}&\mathrm {T} _{1,4}&\mathrm {T} _{2,4}&\mathrm {T} _{3,4}&\mathrm {T} _{4,4},&\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots ,&\ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef58385247f13555e906614c810e92801d6cdb4)
dans laquelle un terme quelconque comme
a deux indices, le premier
pour marquer son rang dans la direction horizontale, et le second
pour marquer son rang dans la direction verticale.
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. III, p. 441.