Représentons, en général, l’équation proposée par
étant la somme de tous les termes qui ont le signe et la somme de tous ceux qui ont le signe Supposons d’abord que les deux nombres et soient positifs et que soit plus grand que si, en faisant on a et, en faisant on a il est clair que dans le premier cas sera et que dans le second sera Or, par la forme des quantités et qui ne contiennent que des termes positifs et des puissances entières et positives, il est évident que ces quantités augmentent nécessairement à mesure que augmente et que, en faisant augmenter par tous les degrés insensibles depuis jusqu’à elles augmenteront aussi par des degrés insensibles, mais de manière que augmentera plus que puisque de plus petite qu’elle était elle devient la plus grande. Donc il y aura nécessairement un terme entre les deux valeurs et où égalera comme deux mobiles qu’on suppose parcourir une même ligne dans le même sens, et qui, partant à la fois de deux points différents, arrivent en même temps à deux autres points, mais de manière que celui qui était d’abord en arrière se trouve ensuite plus avancé que l’autre, doivent nécessairement se rencontrer dans leur chemin. Cette valeur de qui rendra égal à sera donc une des racines de l’équation et tombera entre les valeurs et De même, si, en faisant on avait et, en faisant on avait on aurait dans le premier cas et dansle second et, en faisant augmenter depuis jusqu’à la quantité augmentera plus que la quantité et l’égalera dans un point entre et
Si les deux nombres et étaient négatifs ou un des deux seulement, alors, prenant un nombre positif tel que et soient des nombres positifs, il n’y aurait qu’à transformer l’équation par la substitution de à la place de on aurait ainsi une transformée en dans laquelle les substitutions de et de à la
