Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/154

---

NOTE V.

SUR LA MÉTHODE D’APPROXIMATION DONNÉE PAR NEWTON.

---

Comme la méthode de Newton pour la résolution approchée des équations numériques est la plus connue et la plus usitée, à cause de sa simplicité, il est important d’apprécier le degré d’exactitude dont elle est susceptible ; voici comment on peut y parvenir.

1. Soit l’équation générale du degré $m$

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\ldots =0$

dont on cherche une racine. La méthode dont il s’agit demande qu’on connaisse d’avance une valeur approchée de la racine cherchée ; en désignant cette valeur par $a,$ on fera $x=a+p,$ et l’on aura par cette substitution une équation transformée en $p$ qui, à commencer par les derniers termes, sera de la forme

$\mathrm {X} +\mathrm {Y} p+\mathrm {Z} p^{2}+\mathrm {V} p^{3}+\ldots +p^{m},$

où les quantités $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ seront des fonctions de $a,$ qu’on trouvera tout de suite par les formules du n^o 8, en changeant $x$ en $a\,;$ ainsi l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&a^{m}-\mathrm {A} a^{m-1}+\mathrm {B} a^{m-2}-\mathrm {C} a^{m-3}+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&ma^{m-1}-(m-1)\mathrm {A} a^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} a^{m-3}-\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$

Comme $p$ doit être, par l’hypothèse, une quantité assez petite, étant la différence entre la vraie racine et la valeur supposée de cette racine,