2. Développons d’abord suivant les puissances négatives ; la fraction qui forme le premier membre deviendra
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} }{x}}+{\frac {\mathrm {Q} }{x^{2}}}+{\frac {\mathrm {R} }{x^{3}}}+{\frac {\mathrm {S} }{x^{4}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844e4bc27303c402b7f6a5573732ffe8655c42e9)
et, pour trouver les valeurs des coefficients
il n’y a qu’à multiplier par le dénominateur
et comparer ensuite les termes avec ceux du numérateur
on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&m,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {AP} -(m-1)\mathrm {A} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {AQ-BP} +(m-2)\mathrm {B} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {AR-BQ+CP} -(m-3)\mathrm {C} ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db0a09cad1e7679b2e6440f6af819be728b7a0c)
où l’on voit que la suite des quantités
devient après le
ième terme une suite récurrente, dont l’échelle de relation est ![{\displaystyle \mathrm {A,\ -B,\ C,\ -D} ,\ \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c34601df4b8026b918fb9ee290a8d2217eef9ae)
Développant de même les fractions qui forment le second membre, il deviendra
![{\displaystyle {\frac {m}{x}}+(\alpha +\beta +\gamma +\ldots ){\frac {1}{x^{2}}}+\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots \right){\frac {1}{x^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ca1685488cca5449d93f75ca86e2ad4f2858fb)
![{\displaystyle +\left(\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots \right){\frac {1}{x^{4}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5332291d81890b71baccf79f82fe1f767b5a9f)
Maintenant, la comparaison des termes semblables des deux membres de l’équation donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&m,\\\mathrm {Q} =&\alpha \ \ +\beta \ \,+\gamma \ \ +\ldots ,\\\mathrm {R} =&\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {S} =&\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8e062f5ab9c7b1d58e63565ad925c2e33925f2)
et, en général, un terme quelconque ; dont le quantième sera
à compter de
sera égal à
![{\displaystyle \alpha ^{\mu }+\beta ^{\mu }+\gamma ^{\mu }+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce180d9425adb70e6dcecd43ab1908b1678a8a26)
C’est l’expression du terme général de la série.