Maintenant on fera, suivant Fontaine, et l’on supposera dans la première opération ce qui donne
l’équation sera donc
![{\displaystyle \left[20\left(\varphi ^{2}+1\right)-41\varphi \right]\left[15\left(\varphi ^{2}+1\right)-34\varphi \right]\left[12\left(\varphi ^{2}+1\right)+25\varphi \right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea98ac193b70af8b4c2b52d93b767b28759fd37)
et il faudra faire successivement jusqu’à ce que l’on trouve deux valeurs de qui donnent des résultats de signe contraire, ce qui n’arrivera jamais, les résultats étant toujours positifs, comme il est facile de s’en convaincre par la simple inspection de l’équation. Ainsi la méthode sera en défaut dès la première opération.
Il est aisé de voir qu’on ne peut avoir des résultats négatifs qu’en donnant à une valeur intermédiaire entre et Par exemple, en faisant on trouve le résultat mais cela est contraire à l’esprit de la méthode de Fontaine, qui suppose que et sont toujours des nombres entiers. D’ailleurs, si l’on voulait admettre pour des nombres fractionnaires, il serait bien plus simple d’opérer immédiatement sur l’équation proposée, en cherchant deux valeurs de l’inconnue qui donnent des résultats de signe contraire ; mais la connaissance de la forme des facteurs, qui est l’objet des Tables de Fontaine, devient inutile pour cette recherche, et la difficulté du problème demeure en son entier.
Nous remarquerons encore que, puisque dans la première opération on fait l’équation en sera toujours, généralement parlant, d’un degré plus haut que l’équation proposée, car, si et sont deux racines réelles, les racines de l’équation en seront tous les quotients qu’on peut former en divisant une racine par l’autre ; de sorte que, si est le degré de la proposée, sera celui de l’équation en laquelle sera d’ailleurs nécessairement du genre des réciproques.
Mais si, étant une racine réelle, était la partie réelle de deux
