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décomposer en équations réelles de degrés exprimés par des puissances de $2\,;$ mais la difficulté de décomposer ensuite celles-ci, lorsqu’elles passent le quatrième degré, reste en son entier dans la théorie d’Euler.

14. On peut éviter cette difficulté, comme Foncenex l’a fait dans le premier Volume des Miscellanea de Turin, imprimé en 1759, en ne considérant que les diviseurs du second degré. Car, soit $2^{\mu }\nu$ le degré de l’équation proposée, $\nu$ étant un nombre impair ; si l’on cherche à la diviser par une équation du second degré

$x^{2}-ux+\mathrm {U} =0,$

on trouve, par la théorie des combinaisons, que le coefficients $u$ est déterminé par une équation du degré

${\frac {2^{\mu }\nu \left(2^{\mu }\nu -1\right)}{2}}=2^{\mu -1}\nu \left(2^{\mu }\nu -1\right)=2^{\mu -1}\varpi ,$

$\varpi$ étant, comme l’on voit, un nombre impair.

Donc, si $\mu =1,$ cette équation sera d’un degré impair et aura nécessairement une racine réelle ; de sorte que, comme le dernier terme $\mathrm {U}$ est exprimé généralement par une fonction rationnelle de $u,$ l’équation proposée aura un diviseur rationnel du second degré et s’abaissera par là à un degré moindre de deux unités.

Si $\mu$ est plus grand que l’unité, on cherchera à diviser pareillement l’équation en $u$ par une équation du second degré, comme

$u^{2}-tu+\mathrm {T} =0,$

et le coefficient $t$ sera donné par une équation du degré

${\frac {2^{\mu -1}\varpi \left(2^{\mu -1}\varpi -1\right)}{2}}=2^{\mu -2}\varpi \left(2^{\mu -1}\varpi -1\right)=2^{\mu -2}\rho ,$

$\rho$ étant, comme l’on voit, un nombre impair, et le terme $t$ sera exprimé généralement par une fonction rationnelle de $t$.

Donc, si $\mu =2,$ cette équation sera d’un degré impair et aura une