Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/243

ou bien, ce qui est la même chose,

$\mu ={\frac {2^{\rho }i\left(2^{\rho }i-1\right)\left(2^{\rho }i-2\right)\ldots \left(2^{\rho }i-2^{\rho }+1\right)}{2^{\rho }\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho }-2\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho }+1\right)}},$

et, divisant le haut et le bas de cette fraction par $2^{\rho },$ ensuite par $2,$ par $4,$ etc., on aura

$\mu ={\frac {i\left(2^{\rho }i-1\right)\left(2^{\rho -1}i-1\right)\ldots \left(2^{\rho }i-2^{\rho }+1\right)}{\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho -1}-1\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho }+1\right)}}.$

Comme le numérateur et le dénominateur ne contiennent plus que des facteurs impairs, et que le nombre $\mu$ est par sa nature un nombre entier, il s’ensuit qu’il sera nécessairement impair.

Il s’ensuit de là que tout polynôme du degré $2^{\rho }i$ peut toujours avoir un diviseur réel du degré $2^{\rho }\,;$ le polynôme restant après la division sera donc aussi réel et du degré $2^{\rho }i-2^{\rho },$ savoir $2^{\rho }(i-1)\,;$ or, $i$ étant un nombre impair, $i-1$ sera un nombre pair, qu’on pourra représenter par $2^{\sigma }k,$ $k$ étant un nombre impair ; le polynôme restant sera alors du degré $2^{\rho +\sigma }k$ et aura un diviseur réel du degré $2^{\rho +\sigma },$ et ainsi de suite. Comme de cette manière tout nombre entier peut être décomposé en un certain nombre de puissances croissantes de $2,$ comme $2^{\rho }+2^{\rho +\sigma }+\ldots ,$ il s’ensuit que tout polynôme d’un degré quelconque pourra être décomposé immédiatement en un pareil nombre de polynômes dont les degrés seront ces mêmes puissances de $2.$

13. Il reste donc à considérer les polynômes dont le degré est une simple puissance de $2.$ Faisons dans la formule générale de $\mu$

$m=2^{\rho }\quad {\text{et}}\quad n={\frac {m}{2}}=2^{\rho -1}\,;$

on aura

${\begin{aligned}\mu =&{\frac {2^{\rho }\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho }-2\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho -1}+1\right)}{123\ldots 2^{\rho -1}}}\\=&{\frac {2^{\rho }\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho }-2\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho -1}+1\right)}{2^{\rho -1}\left(2^{\rho -1}-1\right)\left(2^{\rho -1}-2\right)\ldots \left(2^{\rho -1}-2^{\rho -1}+1\right)}}\,;\end{aligned}}$

divisant le haut et le bas de cette fraction par $2^{\rho -1}$ et ensuite par $2,$