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ainsi, en substituant $2\nu$ à la place de $\mu$ et réunissant les termes également éloignés du milieu, l’équation en $u$ deviendra

$u^{2\nu }+h^{\nu }-\mathrm {A} \left(u^{2\nu -1}+h^{\nu -1}u\right)+\mathrm {B} \left(u^{2\nu -2}+h^{\nu -2}u^{2}\right)$

$-\mathrm {C} \left(u^{2\nu -3}+h^{\nu -3}u^{3}\right)+\ldots =0.$

14. C’est la forme générale des équations qu’on appelle réciproques, et qui peuvent toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié.

En effet, en divisant l’équation précédente par $u^{\nu },$ elle devient

$u^{\nu }+{\frac {h^{\nu }}{u^{\nu }}}-\mathrm {A} \left(u^{\nu -1}+{\frac {h^{\nu -1}}{u^{\nu -1}}}\right)+\mathrm {B} \left(u^{\nu -2}+{\frac {h^{\nu -2}}{u^{\nu -2}}}\right)$

$-\mathrm {C} \left(u^{\nu -3}+{\frac {h^{\nu -3}}{u^{\nu -3}}}\right)+\ldots =0.$

Or, si l’on fait

$y=u+{\frac {h}{u}},$

on aura

${\begin{aligned}y^{2}=&u^{2}+{\frac {h^{2}}{u^{2}}}+2h,\\y^{3}=&u^{3}+{\frac {h^{3}}{u^{3}}}+3h\left(u+{\frac {h}{u}}\right),\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l‚on tire

${\begin{aligned}u\ \,+{\frac {h}{u}}\ \,=&y,\\u^{2}+{\frac {h^{2}}{u^{2}}}=&y^{2}-2h,\\u^{3}+{\frac {h^{3}}{u^{3}}}=&y^{3}-3hy,\\..\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$u^{\lambda }+{\frac {h^{\lambda }}{u^{\lambda }}}=y^{\lambda }-\lambda hy^{\lambda -2}+{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}h^{2}y^{\lambda -4}-{\frac {\lambda (\lambda -4)(\lambda -5)}{2.3}}h^{3}y^{\lambda -6}+\ldots .$

Par le moyen de ces substitutions, l’équation en $u$ du degré $2\nu$ sera transformée en une équation en $y$ du degré $\nu ,$ laquelle sera de la forme

$y^{\nu }-(\mathrm {A} )y^{\nu -1}+(\mathrm {B} )y^{\nu -2}-(\mathrm {C} )y^{\nu -3}+\ldots =0,$